Wuerfelwahrscheinlichkeiten

Wuerfelwahrscheinlichkeiten in Abhaengigkeit von der Wuerfelzahl

Ich habe ueber ein kleines Python-Programm berechnen lassen, in wieviel Prozent der Faelle eine Probe gelingt, wenn dafuer Vorraussetzung ist, dass der Eigenschaftswert kleiner oder gleich einem zugeordneten Wuerfelwurf ist, wobei man zugleich einen negativen Talentwert ausgleichen muss oder einen positiven Talentwert zum Ausgleichen hat. Nicht beruecksichtigt habe ich die Einer- und Zwanziger-Regeln von DSA, da die abhaengig von der Wuerfelzahl sind.

Ich habe jeweils die Eigenschaften auf 9, 12 oder 15 gesetzt und folgende Werte bekommen:

Eig./TaW -6 -3 0 3 6 9 12 15
1W20 9 15 30 45 60 75 90 100 100
12 30 45 60 75 90 100 100 100
15 45 60 75 90 100 100 100 100
2 W20 9 15 18 20 34 51 69 86 93
12 30 34 36 54 75 93 97 99
15 51 54 56 79 97 99 100 100
3 W20 9 8 8 9 19 32 49 67 79
12 20 21 21 39 61 82 91 97
15 41 42 42 69 93 98 99 100
4 W20 9 4 4 4 10 20 33 49 63
12 12 12 12 27 47 69 83 92
15 31 31 31 59 87 96 99 99
Grafisch sieht das ganze so aus:

1 Wuerfel 2 Wuerfel 3 Wuerfel 4 Wuerfel

Fuer einen Wuerfel sind die Abhaengigkeiten schlicht und linear.

Bei mehreren Wuerfeln ist das nicht mehr der Fall. Bemerkenswert fand ich den Effekt bei negativen Talentwerten, die das Gelingen einer Probe bei mehreren Wuerfeln recht "schwierig" machen.
Bei positiven Talentwerten gelingen trotzdem weniger Proben, was aber zumindest teilweise darauf zurueckzufuehren ist, dass ja verglichen mit der Wuerfelsumme anteilig immer weniger Talentpunkte zur Verfuegung stehen, um einen Ausgleich herbeizufueren.

Ich habe also die Talentpunkte mit der Wuerfelzahl multipliziert und das ganze nochmal ausrechnen lassen:

Eig./TaW -2 -1 0 1 2 3 4
1W20 9 35 40 45 50 55 60 65
12 50 55 60 65 70 75 80
15 65 70 75 80 85 90 95
Eig./TaW -4 -2 0 2 4 6 8
2 W20 9 17 19 20 29 39 51 63
12 33 35 36 48 61 75 91
15 53 55 56 71 87 97 99
Eig./TaW -6 -3 0 3 6 9 12
3 W20 9 8 8 9 19 32 49 67
12 20 21 21 39 61 82 91
15 41 42 42 69 93 98 99
Eig./TaW -8 -4 0 4 8 12 16
4 W20 9 3 4 4 13 28 49 67
12 12 12 12 33 64 83 94
15 31 31 31 70 94 99 99
Nochmal grafisch:

1 Wuerfel 2 Wuerfel 3 Wuerfel 4 Wuerfel

Wie man sieht, aendert sich bei hohen Talentwerten (4 je Wuerfel) relativ wenig - aber drunter sacken die Wahrscheinlichkeiten, erfolgreich zu wuerfeln, merklich ab, sobald mehr als ein Wuerfel im Spiel ist.
Bis zu einem Talentwert von 0 halbiert bei einem Eigenschaftwswert von 9 jeder dazukommende Wuerfel die Wahrscheinlichkeit, die Probe zu schaffen. Bei einem Talentwert von 1 ist es immer noch ein Faktor von 2/3, um den jeder zusaetzliche Wuerfel die Probengelingenswahrscheinlichkeit senkt. Bei hoeheren Talentwerten gleichen sich die Werte im Fall des Eigenschaftenwertes von 9 dann wieder mehr und mehr an.
Anders sieht es bei hohen Eigenschaftswerten (15) aus. Zwar sinken die Gelingenswahrscheinlichkeiten im Fall von negativen Talentwerten auch in dem Fall, aber bei weitem nicht so stark. Bei hohen Talentwerten und hohen Eingeschaften steigt die Wahrscheinlichkeit, die Probe zu schaffen, sogar an. Ich habe mal nur den Talentwert, der der doppelten Wuerfelzahl entspricht, fuer die vier Wuerfelzahlen aufgetragen:

Vergleich fuer TaW = doppelte Wuerfelzahl

Hm... ich bin erstaunt. Ich haette vor allem nicht gedacht, dass die Effekte so drastisch sind. Aber ich aendere hiermit meine Meinung: Es ist *doch* so, dass jeder dazukommende Wuerfel die Wahrscheinlichkeit, eine Probe zu schaffen, merklich senkt.

Und die Zufaelligkeit, bzw. die Vorhersehbarkeit eines Wuerfelergebnisses?

Wenn der Talentwert, multipliziert mit der Wuerfelzahl, die Differenz zwischen dem Wuerfelmaximum und den Eigenschaftswerten uebertrifft, ist das Ergebnis nicht mehr zufaellig: Jeder Wurf wird geschafft, weil der Talentwert grundsaetzlich ausreicht, um die Wuerfelergebnisse auszugleichen. Konkret: Wenn ich Eigenschaftswerte von 15 annehme, brauche ich bei einem Wuerfel einen TaW von 5, um jede Probe sicher zu bestehen - eventuelle Einer- und Zwanziger-Sonderregeln mal wieder aussen vor gelassen. Bei zwei Wuerfeln gewaehrt mir ein TaW von 10 Sicherheit, bei dreien ein TaW von 15, und so weiter. Liegt der Eigenschaftenwert nur bei 10, bin ich erst ab einem TaW von ebenfalls 10 fuer einen Wuerfel sicher, fuer 2 Wuerfel muss der TaW 20 sein und so weiter. 100% Gelingenswahrscheinlichkeit bedeuten, dass der Ausgang der Probe nicht mehr zufaellig ist.
Analog fuer 0% Gelingenswahrscheinlichkeit - betraegt mein Eigenschaftenwert 10 und der Talentwert ist (0 minus Eigenschaftwert mal Wuerfelzahl), kann keine Probe gelingen - voellig unabhaengig von jedem Zufall.

Zufaellig sind vor allem die Proben, deren Gelingenswahrscheinlichkeit bei 50% liegen - bei denen haengt quasi alles vom Zufall ab.
Um die Zufaelligkeit zu bestimmen, muss man also die Distanz der oben gegebenen Werte zu 0% bzw. 100% ansehen. Das laesst sich leicht ausrechnen:

-2 -1 0 1 2 3 4
1W20 9 35 40 45 50 45 40 35
12 50 45 40 35 30 25 20
15 35 30 25 20 15 10 5
-4 -2 0 2 4 6 8
2 W20 9 17 19 20 29 39 49 37
12 33 35 36 48 39 25 9
15 47 45 44 29 13 3 1
-6 -3 0 3 6 9 12
3 W20 9 8 8 9 19 32 49 33
12 20 21 21 39 39 18 9
15 41 42 42 31 7 2 1
-8 -4 0 4 8 12 16
4 W20 9 3 4 4 13 28 49 33
12 12 12 12 33 36 17 6
15 31 31 31 30 6 1 1

Als Grafiken:

1 Wuerfel 2 Wuerfel 3 Wuerfel 4 Wuerfel

Die Zufaelligkeit sinkt also tendenziell eher. Augenfaelliger wird es vielleicht noch, wenn man es sich mit "bedingter Formatierung" in Excel oder Calc ansieht. Ich habe die Felder, in denen Werte von 40 bis 50 stehen, rot hinterlegt; solche mit Werten ab 19 sind gruen eingefaerbt, und das Mittelfeld (20 bis 40) stellt sich rosa dar:

Zufaelligkeiten der Wuerfelproben

Bei vier Wuerfeln kann man sich in den meisten Faellen (12 von 18 getesteten) mehr oder minder sicher sein, wie das Resultat ausfallen wird. Bei einem Wuerfel weiss man es fast nur in den Faellen, in denen die Summe aus Eigenschaftswert und Talentwert bereits im "Randbereich" des Wuerfels liegt.

	Eig./TaW	-6	-3	0	3	6	9	12	15
1W20	9	15	30	45	60	75	90	100	100
	12	30	45	60	75	90	100	100	100
	15	45	60	75	90	100	100	100	100
2 W20	9	15	18	20	34	51	69	86	93
	12	30	34	36	54	75	93	97	99
	15	51	54	56	79	97	99	100	100
3 W20	9	8	8	9	19	32	49	67	79
	12	20	21	21	39	61	82	91	97
	15	41	42	42	69	93	98	99	100
4 W20	9	4	4	4	10	20	33	49	63
	12	12	12	12	27	47	69	83	92
	15	31	31	31	59	87	96	99	99